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Actualité de l'Intuitionnisme
Michael Dummett   Elements of Intuitionism - 2d Edition
Clarendon Press - Oxford Logic Guides 39 2000 /  / 344 pages
ISBN : 0198505248

Dirk van Dalen, Mystic, Geometer and Intuitionist, The Life of L. E. J. Brouwer, vol. 1, The Dawning Revolution, Clarendon Press, Oxford, 1999. 456 pages (11 January, 1999)
Clarendon Press; ISBN: 0198502974

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Il n’y a pas si longtemps, dans les Principia Ethicade Moore par exemple, intuitionnisme désignait la doctrine selon laquelle la moralité serait fondée sur le sentiment; aujourd’hui, le mot appartient plutôt au vocabulaire de la logique et des mathématiques, où il réfère à l’école qu’on s’accorde à faire naître avec la Dissertation doctorale du mathématicien hollandais L. E. J. Brouwer (1881-1966). Depuis lors la réception des idées de Brouwer a connu un sort très contrasté. Après la première guerre mondiale, elles donnèrent lieu à un débat très vif avec Hilbert, qui s’acheva par la victoire de celui-ci. L’intuitionnisme entre alors dans une phase de quasi oubli, jusqu’à ce qu’il soit redécouvert par les informaticiens, pour qui l’exigence d’effectivité était également primordiale. De plus, il avait toujours attiré la sympathie des mathématiciens intéressés par les questions philosophiques, comme H. Weyl, qu’Hilbert considérait un temps comme le plus doué de ses disciples, G. Kreisel ou P. Martin Löf. De récentes publications montrent à quel point le domaine est florissant.

Un signe de cette vitalité est la réédition des Elements of Intuitionism, publiés pour la première fois en 1977. L’auteur, Michael Dummett, est peut-être plus connu pour les livres qu’il a écrits sur Frege mais ses principales thèses (son anti-réalisme, ou la position qu’il a défendue contre Davidson concernant la nature d’une théorie de la signification) ont été profondément influencées par l’intuitionnisme. Comme le disait la préface de la première édition, le livre devait fournir, “sous une forme aisément intelligible à qui n’a pas de connaissance préalable du sujet, une présentation des idées fondamentales des mathématiques intuitionnistes”, avec une insistance plus particulière sur la logique. Certains changements ont été apportés, qui n’affectent pas la structure générale de l’ouvrage. Il y a deux approches de la logique : la théorie de la preuve et la théorie des modèles, la syntaxe et la sémantique. Dans la mesure où l’intuitionnisme tend à identifier vrai et démontré, il s’accorde mieux avec la première et beaucoup de manuels élémentaires s’en tiennent donc là. Ce n’est pas le cas de ces Elements. L’ouvrage donne une présentation à la fois complète et concise et c’est la raison pour laquelle il est vite devenu un classique. En dépit de la citation ci-dessus, il est davantage destiné au spécialiste qu’au débutant et, pour ce qui concerne les mathématiques intuitionnistes (déploiement, suites de choix, théorème de l’éventail ou induction barrée), ce dernier se retrouvera plus aisément dans l’ouvrage de van Dalen.

Le succès de la biographie comme genre littéraire est facile à expliquer. Avant de commencer une étude systématique, il est bon de prendre un premier aperçu du sujet, et, dans ce cas une approche historique est souvent plus éclairante qu’une approche purement systématique. Dans notre domaine, outre les divers ouvrages de Jean Largeault (notamment : Intuition et intuitionisme, Paris, Vrin, 1993), deux bons livres étaient déjà disponibles : Brouwer's Intuitionism, par W.P. van Stigt (North Holland, Amsterdam, 1990) and From Brouwer to Hilbert, par Paolo Mancosu (Oxford, 1998) mais Mystic, Geometer and Intuitionist, qui comportera un second volume, restera pendant longtemps la biographie définitive. L’auteur, qui compte parmi les principaux mathématiciens intuitionnistes, est également responsable des archives Brouwer à Utrecht, ce qui lui a permis d’utiliser beaucoup de documents inédits, notamment en ce qui concerne le cadre culturel de l’oeuvre de Brouwer. En dépit de leur valeur exceptionnelle, les contributions de ce dernier aux mathématiques classiques sont souvent négligées en faveur de sa création d’une nouvelle mathématique. Pourtant, ces deux carrières sont étroitement liées; c’est pourquoi les chapitres quatre et cinq sont consacrés à la naissance de la nouvelle topologie. Toutefois, Brouwer restera dans la mémoire de l’humanité comme le fondateur d’une nouvelle mathématique, dont l’essentiel était déjà contenu dans la Dissertation doctorale de 1907.

Comme celle de ses principaux rivaux, l’approche de Brouwer était dominée par la crise des fondements qui avait suivi la naissance de la théorie des ensembles. Négativement, sa position peut se caractériser par le rejet des deux écoles concurrentes, le logicisme et le formalisme. — Contre la première, il voulait séparer nettement logique et mathématique, et considérait même celle-ci comme antérieure à celle-là. Comme le montre le titre d’un article publié en 1908, The Unreliability of Logical Principles, la logique était même tenue pour responsable des paradoxes. Brouwer se présentait comme proche de ceux qu’il appelait les pré- ou semi-intuitionnistes (Poincaré, Borel, Lebesgue...) et il partageait le mépris de nombreux mathématiciens français pour la logique. Intuitionniste étant aujourd’hui utilisé le plus souvent pour qualifier logique, il y a lieu de souligner cette méfiance à l’égard du verbalisme logique. Ses objections sont encore plus radicales que celles de Descartes : “elle ne sert plus aujourd’hui qu’aux avocats ou aux démagogues : non pour instruire les autres, mais pour les tromper” (p. 100). Sa première réaction devant l’axiomatisation de la logique intuitionniste par Heyting montre combien le point de vue original de Brouwer nous est devenu étranger : “Exercice intéressant mais stérile”. Quant à la critique du formalisme, ce fut le sujet de sa leçon inaugurale à l’Université d’Amsterdam, en 1912 : la justification des mathématiques formelles ne peut être faite formellement, mais seulement par l’intuition; le progrès accompli par la formalisation est donc plus apparent que réel.

De façon plus positive, l’intuitionnisme a une saveur kantienne. Pour Brouwer, la mathématique est tout entière construction mentale, fondée sur l’intuition de la bi-unité (many-one-ness), et “puisque ceci coïncide avec la conscience du temps comme changement en soi, nous pouvons dire : en science, le seul élément a priori est le temps” (104). Mais l’action du temps ne s’applique pas au seul sujet connaissant. Jusqu’à Brouwer tous les philosophes, et non les seuls platoniciens, considéraient les objets mathématiques comme éternels : étant hors du temps, ils avaient le privilège de ne pas être soumis à la génération et à la corruption. L’originalité majeure de l’intuitionnisme tient à sa décision de rejeter cette tradition. Les nombres réels peuvent être définis comme des séquences de nombres rationnels; mais l’ensemble des suites régulières que nous pouvons construire sera toujours dénombrable. Pour résoudre le problème du continu, il est donc nécessaire de trouver de nouveaux modes d’engendrement des nombres réels. C’est pourquoi Brouwer choisit d’introduire le temps dans le monde mathématique lui-même. Les suites de choix ne sont pas produites selon une loi mais par des choix libres, ce qui s’accorde en un sens avec l’idée grecque de l’infini comme apeiron, comme indéterminé. Des principes dits de continuité sont introduits pour compenser les effets indésirables de cette indétermination : ils sont fondés sur l’idée qu’en fait même le mathématicien classique, lorsqu’il parle d’une suite infinie, n’en connaît jamais qu’un segment initial fini.

Ce qui précède est assez bien connu de qui est familier avec l’intuitionnisme mais une biographie a une portée beaucoup plus large et ce qui concerne les activités extra-mathématiques ou extra-académiques de Brouwer sera pour beaucoup une découverte. Son premier livre, Vie, art et mysticisme (1905) est une protestation contre le positivisme ambiant et n’a rien à voir avec les mathématiques. Ses disciples ont souvent été réticents à faire état d’un ouvrage qui, en attaquant les préjugés de l’homme moderne, pouvait nuire à la diffusion de l’intuitionnisme. Cependant, dans le cas de Brouwer, la philosophie était une composante majeure et il voyait un lien étroit entre son mysticisme et ses activités de savant. Sur la valeur des mathématiques, l’ouvrage contient des citations tout à fait surprenantes : “On devrait refuser de faire des mathématiques; mais puisqu’on en est venu là, on doit refuser le pas suivant, à savoir la logique mathématique”, ou encore “on pourrait se fixer comme but dans la vie : abolition et délivrance de toutes les mathématiques” (32-3, 92). L’approche de Brouwer s’appuie explicitement sur des principes moraux très forts. Pour un platoniste, les mathématiques descendent en quelque sorte du ciel sur la terre; pour un intuitionniste en revanche, ce qui importe, c’est de savoir comment les mathématiques s’enracinent dans la vie. Elles sont une Lebensform. Le Tractatus liait lui aussi très étroitement la logique et la mystique et il n’est pas surprenant que ce soit à la suite d’une conférence donnée par Brouwer à Vienne en 1929 que Wittgenstein ait décidé de renouer avec la philosophie.

Brouwer était également très impliqué dans la vie intellectuelle de son pays. En 1917 avec un ami, van Eeden, il fonda un Institut International de Philosophie qui se proposait de réformer spirituellement le monde et réussit à recruter comme membres associés des personnalités comme Peano ou Tagore. Le manque de réponse internationale s’avéra cependant fatal au projet et l’Institut fut dissout cinq ans plus tard. Avec un autre ami et collègue, Gerritt Mannoury, il fonda immédiatement un autre groupe, le Cercle Signific, qui a parfois été comparé au Cercle de Vienne. Ces projets montrent que Brouwer n’a jamais négligé le rôle du langage dans la vie mentale. Selon lui, la meilleure façon de réaliser la réforme spirituelle à laquelle il aspirait consistait à créer un nouveau vocabulaire qui, en nous rendant plus conscients de nos affects, faciliterait les échanges de pensée et par voie de conséquence l’organisation sociale.

Brouwer est mort en 1966. Depuis lors, bien d’autres savants ont contribué à donner à l’intuitionnisme la forme qu’il a aujourd’hui. Certaines de ses idées les plus controversées ont été abandonnées mais sa personnalité était si exceptionnelle que, un demi siècle plus tard, son influence reste partout visible. Le livre de van Dalen aidera ceux qui sont déjà familiers avec l’oeuvre de Brouwer à approfondir leur connaissance. Ceux qui se préoccupent des liens entre les mathématiques et la philosophie ou plus généralement entre la science et l’éthique le liront également avec profit.

Pour une vue plus générale de l’histoire de la logique moderne dans son rapport à la question des fondements, le lecteur trouvera une mine de renseignements très utiles dans le récent ouvrage de Ivor Grattan-Guinness : The Search for Mathematical Roots, 1870-1940, 690 p., Princeton University Press, 2000.


Michel Bourdeau
( Mis en ligne le 16/11/2001 )
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