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Histoire des nombres complexes - Entre algèbre et géométrie
de Dominique Flament
CNRS éditions - Histoire des sciences 2003 /  39 €- 255.45  ffr. / 501 pages
ISBN :  2-271-06128-8
FORMAT : 17x24 cm

L'auteur du compte rendu: Aprs un DEA de traitement du signal et de limage lEcole Normale Suprieure de Cachan et deux ans de recherches sur la dtection et le suivi des rgions sur la couronne solaire au laboratoire CEREMADE de Paris IX Dauphine, Valrie Charoing est actuellement la recherche dun emploi en ingnierie.

Quand les mathématiques prennent leur envol

Dominique Flament, docteur en mathmatiques et en histoire des mathmatiques, est chercheur au CNRS. Avec Histoire des nombres complexes. Entre algbre et gomtrie (on lui doit galement Le nombre, une hydre n visages, MSH, 1997), il lve les mystres dun pan majeur de sa science : la construction des nombres complexes. Ces nombres, imaginaires parce quils nont aucune signification physique, sajoutent aux nombres rels. Ils sont ncessaires au calcul car ils donnent un sens limpossible : lextraction de la racine carre dun nombre ngatif.

Cette tude repose sur un travail de recherche trs complet et trs document. On y trouve les extraits originaux des rapports, thses et autres travaux de recherche des grands mathmaticiens du XIIIe au XIXe sicle. Lauteur nous livre galement quelques chantillons de courriers que schangeaient les savants pour se congratuler ou exprimer leur dsaccord.
Dominique Flament insiste sur le travail dquipe dont dcoulent les grandes dcouvertes et thories, mais aussi les grandes erreurs. Ces erreurs, indispensables, permettent de pointer du doigt par leur apparente contradiction, les thories qui ne tiennent pas debout.

Pendant longtemps, les mathmaticiens sont rests tellement attachs aux applications de leur science quils nont pas pu sexpliquer une valeur ngative, qui na rien de naturel. Sans reprsentation gomtrique, lintrt de la mthode tait mis en cause. La gomtrie tait alors un recours pour dmontrer une proposition. Par exemple, une quation du quatrime degr ne pouvant tre reprsente graphiquement devenait tout simplement absurde et choquante. La faute se renouvelait autant de fois quils essayaient de faire coller leur formalisme la nature.
Ce symbolisme tait, de plus, personnel chaque chercheur, et ambigu, ce qui rendait difficiles la comprhension et lutilisation des thories avances, et tait logiquement source derreurs rptes. Il faudra attendre plusieurs sicles avant quune sorte d esperanto mathmatique se mette en place. On comprend ds lors la difficult de ces illustres penseurs face aux nombres imaginaires.

Jusquau XVIIIe sicle, il faut donc savoir offrir une reprsentation gomtrique de ses rsultats, sous peine de les voir rejets. Il est alors inutile de connatre le comportement des objets au voisinage de linfini puisque cet infini nintresse pas les praticiens. Avec limportance croissante accorde la rigueur, la reprsentation reprendra sa place, celle dune illustration, un moyen de dvelopper lintuition de nouveaux rsultats, mais plus celui dlaborer une dmonstration. Avec toujours plus de rigueur, ce qui tait considr comme un axiome jusquici devient alors une simple hypothse vrifier.
On passe petit petit des mathmatiques traduites du monde et de ses applications, aux mathmatiques abstraites, langage symbolique qui ne doit plus tre influenc par la nature. On peut ainsi commencer construire l espace des nombres complexes plus sereinement, dbarrass de cette obligation de les reprsenter avant de les comprendre.

Cest seulement la fin du XVIIIe et au dbut du XIXe sicle que le nombre complexe i cesse dtre un mystre ncessaire au calcul pour devenir un nouvel objet mathmatique. On dcouvre comment les travaux parfois compltement dnus de rigueur dun chercheur rest anonyme se conjuguent ceux des gnies, comment la faiblesse de la diffusion de linformation scientifique est longtemps un frein au dveloppement des mathmatiques. Certains, en effet, consacrent un temps prcieux llaboration dune thorie existant en secret depuis plusieurs dcennies. Louvrage offre un mlange de passages techniques et des bouts de vie des gnies qui ont marqu lhistoire des mathmatiques ; certains sont morts sans reconnaissance et dans lindiffrence, dautres, au contraire, ont bnfici dune aura qui a facilit la publication et ladoption de leurs travaux.

Au cours de ces sicles de recherche o lon a repens les mathmatiques, la gomtrie a perdu de son importance, ntant plus un outil pour dmontrer lalgbre. Laugmentation de la rigueur imposait de dissocier algbre et gomtrie pour crer les structures et les bases de la mathmatique moderne. Une fois ce travail effectu, la gomtrie sera rhabilite pour illustrer les nombres.

Plus que lhistoire des nombres complexes, ce travail met en exergue le dveloppement des mathmatiques en gnral. Cet expos ncessite davoir clairement en tte le formalisme actuel pour voir les abus des formalismes passs. Sa lecture est donc rserve un public averti.
Cest nanmoins un exercice intressant pour le lecteur qui doit comprendre comment les expressions ou les ides mathmatiques quil a apprises et qui sont pour lui naturelles et inbranlables -sans aucune place laisse au doute- pouvaient tre considres comme impossibles par les chercheurs dalors.

Du vieux franais langlais du XVIIIe sicle en passant par litalien ou lespagnol, lauteur met notre disposition des extraits des textes originaux des savants ayant particip la construction des nombres complexes. Cela ne facilite pas la lecture de ce travail car on ne peut compter sur aucune traduction. Mais Dominique Flament ne raconte pas, il ninterprte pas, il expose et ce de faon trs dtaille.

Valérie Charoing
( Mis en ligne le 12/11/2003 )
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